Представление симметрического многочлена через основные симметрические многочлены

Пусть $f_{1}$ и $f_{2}$ - ненулевые многочлены от нескольких переменных 1. $\operatorname{mdeg}(f_{1}f_{2}) =\operatorname{mdeg}(f_{1}) + \operatorname{mdeg}(f_{2})$ 2. $\operatorname{lead}(f_{1}f_{2}) = \operatorname{lead}(f_{1}) \cdot \operatorname{lead}(f_{2})$ Обозначения: - $\operatorname{mdeg}⁡(f)$ — мультистепень старшего монома $f$ - $\operatorname{lead}⁡(f)$ — старший моном $f$ (моном максимальной степени)

Для простоты обозначим $x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}}\dots x_{n}^{k_{n}}$ как $x^{a}$, где $a = k_{1} + \dots k_{n}$ Пусть $\operatorname{lead}(f_1) = c_1 x^{\alpha}$, $\operatorname{lead}(f_2) = c_2 x^{\beta}$. Тогда $f_1$ и $f_2$ представимы как: $$f_1 = c_1 x^{\alpha} + \text{меньшие мономы}, \quad f_2 = c_2 x^{\beta} + \text{меньшие мономы}$$ Их произведение: $$f_1 f_2 = \underbrace{c_1 c_2 x^{\alpha + \beta}}_{\text{главный}} + \underbrace{\sum_{\gamma < \alpha} u_\gamma c_2 x^{\gamma + \beta} + \sum_{\delta < \beta} c_1 v_\delta x^{\alpha + \delta} + \cdots}_{\text{меньшие}}$$ Ясно, что $\alpha + \beta > \gamma + \beta$ и $\alpha + \beta > \alpha + \delta$, а значит: 1. $\operatorname{mdeg}(f_{1}f_{2}) = \operatorname{mdeg}(c_{1}c_{2}x^{\alpha + \beta}) = \operatorname{mdeg}f_{1} + \operatorname{mdeg}f_{2}$ 2. $\operatorname{lead} (f_{1}f_{2}) = c_{1}c_{2}x^{\alpha + \beta} = \operatorname{lead}f_{1} \cdot \operatorname{lead}f_{2}$ $\square$

$f(x_{1}, x_{2},\dots, x_{n})$ - симметрический многочлен, тогда $f$ - многочлен от элементарных симметрических многочленов

Пусть $\mathcal{F}$ — множество симметрических многочленов, не выражающихся через $\sigma_k$. От противного: Предположим $\mathcal{F} \neq \varnothing$. Выберем $f \in \mathcal{F}$ с минимальной мультистепенью $\alpha = (a_1,\dots,a_n)$, где $a_1 \geq \dots \geq a_n$ (из симметричности). Пусть $\operatorname{lead} f = Ax_{1}^{a_{1}}\dots x_{n}^{a_{n}}$ Построим многочлен: $$g = A \sigma_1^{s_1} \sigma_2^{s_2} \cdots \sigma_n^{s_n}$$ где $s_k = a_k - a_{k+1}$ ($a_{n+1} = 0$). Рассмотрим его мультистепень: $$\operatorname{mdeg} g = \operatorname{mdeg} A \sigma_{1}^{s_{1}} \sigma_{2}^{s_{2}} \dots \sigma_{n}^{s_{n}} =^{*} \sum_{k=1}^{n} \operatorname{mdeg} \sigma_{k}^{s_{k}} = (s_{1},0,\dots,0) + (s_{2}, s_{2}, 0, \dots, 0) + \dots + (s_{n}, s_{n}, \dots, s_{n}) \qquad (1)$$ $*$ - по лемме выше. Так как мы определили $s_{k} = a_{k} - a_{k+1}$, то, продолжая $(1)$: $$\operatorname{mdeg} g = (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) = \alpha$$ Т.е. $\operatorname{lead} f = \operatorname{lead} g$, поэтому, если рассмотреть $h = f - g$, получим, что $\operatorname{mdeg} h < \alpha$, так как старшие мономы сократятся. Но $f$ был минимальным в $\mathcal{F}$, а значит $h$ выражается через элементарные. Но тогда и $f = h + g$ выражается через элементарные, противоречие. $\square$